原文：The Invention of Zero: How Ancient Mesopotamia Created the Mathematical Concept of Nought and Ancient India Gave It Symbolic Form 原作者：Maria Popova · The Marginalian · 2026-09-02 中文翻译；版权归原作者所有。
“若你直视零，你什么也看不见；但若透过它去看，你将看见整个世界。”
如果古代阿拉伯世界曾对异邦旅人紧闭大门，我们就不会拥有医学、天文学和数学——至少不会是我们今天所熟知的模样。
在人类探寻宇宙本质与理解自身存在的历程中，居于核心地位的是“零”。它始于美索不达米亚，推动了人类意识中最重大的一次范式转变——这一概念最初在阿拉伯时代之前的苏美尔（即今天的伊拉克境内）被发明（抑或被发现），后来在古印度被赋予了符号形式。意义与符号的交织不仅塑造了作为现实最佳模型基石的数学，更深深融入了人类生活的肌理：从莎士比亚在《李尔王》（ King Lear ）中将其戏称为“无数字的圆圈（an O without a figure）”，到比特的发明带来 1 和 0，正是它们支撑着我在屏幕上敲下这些字句，也支撑着你阅读它们。
数学家罗伯特·卡普兰（Robert Kaplan）在 《无中生有：零的自然史》 （ The Nothing That Is: A Natural History of Zero ）一书中记录了“零”的颠覆性历程。从某种意义上说，这是一个典型的科学发现故事：一个源于自然法则观察的抽象概念被命名并被赋予了符号形式。但它也是一段跨越时空的跨文化传奇，以浪漫的笔调书写了理性。
插画出自安·兰德（Ann Rand）关于数字的复古概念绘本《小 1》（ Little 1 ），保罗·兰德（Paul Rand）绘
卡普兰写道：
若你直视零，你什么也看不见；但若透过它去看，你将看见整个世界。因为零让庞大而有机生长的数学体系聚焦，而数学反过来又聚焦了事物的复杂本质。从计数到演算，从估算概率到精准洞悉人事运势何时达到顶峰，数学这一光芒四射的工具让我们能够追踪万事万物在彼此交织中的迂回轨迹——而所有这些构件，都在零这个最微小的支点上旋转。
借助这些思维工具，我们让控制周围物体循环与转向的隐秘法则变得清晰可见。甚至心灵本身也倒映在数学之中，其无尽的倒影时而令人困惑，时而澄清洞见。
[…]
当我们追随零的符号与意义的蜿蜒演变时，我们也将随之看到数学的创造与实践——由人类创造，为人类所用。没有任何神明将其赐予我们。它的缪斯只对那些热烈追求她的人倾诉。
着眼于数学究竟是被发现还是被发明这一永恒难题——库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）与维也纳学派 曾就此展开著名论战——卡普兰评论道：
零究竟是客观存在还是凭空虚构，这一令人不安的问题必然会引出那个古老的谜题：事物的发展方式究竟是我们发明的还是发现的？由此便触及一个更深层的问题：我们在宇宙秩序中处于何种位置？以我们所拥有的评判力量来看，我们究竟是被造物还是造物主？是远逊于天使，还是仅仅略逊一筹？
插画出自谢尔·希尔弗斯坦（Shel Silverstein）的《失落的一角遇见大圆满》（ The Missing Piece Meets the Big O ）
正如所有颠覆性的发明一样，零始于实际需求——即计数的需要，且不必深陷于数字越来越庞大所带来的笨拙与混乱之中。卡普兰写道：
零的生涯始于压在湿泥块上的两个楔形印记，在那段岁月里，一项精湛的心智工程为我们带来了计数的艺术。
[…]
故事始于大约 5000 年前的苏美尔人，这群充满活力的人定居在美索不达米亚（现伊拉克的一部分）。当你在他们的一块泥板上读到父子之间的这段对话：“你去哪儿了？”“没去哪儿。”“那你为什么迟到？”你会意识到，5000 年的时光宛如刚刚逝去的一个傍晚。
苏美尔人按 1 和 10 计数，但也按 60 计数。这听起来可能很怪异，直到你想起我们其实也是如此：一小时有 60 分钟（一个圆周是 6 × 60 = 360 度）。更有甚者，一年有 12 个月，一周有 7 天，一天有 24 小时，一磅或一品脱有 16 盎司。直到 1971 年，英国人仍以 12 便士为一先令，20 先令为一英镑来进行计算。
顺着这些不同系统的线索追溯，你会解开一部由习俗与妥协构成的历史，从而发现你原以为奇特的事物其实是世界上最自然不过的。就苏美尔人而言，六十进制系统很可能源于他们与另一个度量衡系统（乃至货币价值）迥异的文化的往来。
必须调和十进制和六十进制计数法，成了苏美尔人日益困惑的根源。他们最初是用空心芦苇的尖端按压在湿泥板上留下圆形和半圆形，经烘烤后固化以做记录。芦苇笔最终演变成三棱触笔，以不同角度压出三角形的楔形文字痕迹，用以表示不同的数字、数量和概念。卡普兰展示了公元前 2000 年左右苏美尔计数系统的形态：
这套繁琐的系统延续了数千年，直到公元前 6 世纪至 3 世纪之间的某个时刻，有人想出了一种将记账列隔开的方法，用来表示“此列为空”——就这样，零的概念（即便尚非符号）诞生了。卡普兰写道：
在基什（Kish）出土的一块泥板上（年代或可追溯至公元前 700 年），抄写员用三个钩形符号而不是两个倾斜的楔形来表示零，仿佛它们是“三十”；而在大致同一时期，另一位抄写员只画了一个钩，以至于与他的“十”无法区分。这是粗心大意？还是说这种多样性告诉我们，我们已经非常接近将间隔标记用作零的最早阶段，其意义和形式当时尚未定型？
但零几乎随着最初孕育它的文明一同消亡。历史的指针随后从美索不达米亚指向古希腊，在那里，对零的需求重新复苏。卡普兰谈到了阿基米德及其为大数命名的方法，“myriad”（万）是希腊数字名称中最大的一个，代表 10,000。凭借大数的 阶 （orders）这一概念，这位伟大的希腊博学家与发明幂的概念仅有一步之遥，但他给予了我们更为重要的东西——正如卡普兰所说，他向我们展示了“如何尽可能具体地思考极其庞大的事物，为我们提供了一种分阶段构建的方法，而不是让我们的思绪在浩瀚面前涣散，从而使我们能够将即便如此巨大的量级与无穷区分开来。”
多梅尼科·费蒂（Domenico Fetti）绘《沉思的阿基米德》（Archimedes Thoughtful），1620 年
从某种意义上说，无穷的概念勾勒出了为其镜像对立面——虚无——命名的需求。（此时距离负数的出现还很遥远。）然而希腊人没有表示零的词汇，尽管他们显然意识到了其若隐若现的存在。卡普兰写道：
我们心中是否都有一种古老的观念：事物必须有名有姓才算存在？许多孩子拒绝接受数字可以无穷无尽的说法（只需在任何候选的最后一个数字上加一即可），因为名称总有用尽的时候。对他们来说，古戈尔（googol，即 1 后面跟 100 个零）是一个庞大而鲜活的朋友，古戈尔普勒克斯（googolplex，本着阿基米德的精神，即 10 的古戈尔次方）也是如此。
[…]
通过不使用零，而是命名他的万万、阶和周期，阿基米德赋予了这种浩瀚一种建设性的生命力——让它距离我们的触及更近了一步，哪怕我们尚未完全掌握它。
通常而言，我们知道命名赋予存在以意义。但名字是赋予事物的，而零不是事物——事实上，它是“无物”（no-thing）。卡普兰思考了这一悖论：
名字属于事物，但零属于虚无。它计算的是不在场之物的总和。照此推理，相对于这件或那件事物而言，它必定无处不在：例如，相对于那个放着七个——或者现在是六个——苹果的碗里蜂鸟的数量而言。那么零命名的究竟是什么？它看起来就像格特鲁德·斯泰因（Gertrude Stein）笔下奥克兰的微缩版，那里根本“没有所谓的‘那里’”。
零当时仍是数学想象中一个未被命名的虚构概念，在获得名字之前，它继续在古代世界展开漫游之旅。在巴比伦和希腊之后，它落脚于印度。零作为符号现存最早的书面记录出现在当地一块公元 876 年的石碑上，上面刻着一个花园的尺寸：270 乘 50，记作“27°”和“5°”。卡普兰指出，同样的微小零号也出现在早三个世纪的铜板上，但由于 11 世纪伪造之风盛行，它们的真实性已无法确定。他写道：
如果你愿意费力穿透耀眼迷雾去辨认模糊的身影，我们可以尝试将零在印度的起源推到 876 年之前。何必费此周折？因为每个故事，正如每个梦境，都有一个深邃的核心，在那里所说的一切听来都如神谕，所见的一切皆为征兆。围绕这些意象的解释如同大锅中的泡沫般翻滚。对我们而言，这个深邃的核心正是地中海周边古代世界与印度古代世界之间的分水岭。
但如果零在古印度有一位大祭司，那无疑是数学家兼天文学家阿耶波多（Āryabhata），他的身份与莎士比亚一样笼罩在重重迷雾之中。尽管如此，他的遗产——无论他确实是一个人还是代表着一个群体——都是零的历史中不可磨灭的一部分。
阿耶波多（K. Ganesh Acharya 绘）
卡普兰写道：
阿耶波多想要一种简洁的方法来存储（而非计算）大数，并想到了一种奇特的方案。如果我们尚未拥有位置记数法（例如 9,871 中的 8 代表 800，因为它处于百位），我们可能会想出这样的写法：9千8百7十1，其中“千”代表千位，“百”代表百位，“十”代表十位（事实上，我们通常也是这样读出数字的，货币金额也曾这样表示：3镑4先令2便士）。阿耶波多做了类似的事情，只是更抽象了一层。
他编造了无意义的词，以音节代表各数位上的数字，辅音代表数字，梵文中的九个元音代表数位。由于前三个元音是 a、i 和 u，如果你想在他的系统中写出 386（他将其写为 6，然后是 8，然后是 3），你需要第六个辅音 c 加上 a（表明 c 处于个位），第八个辅音 j 加上 i，然后是第三个辅音 g 加上 u：CAJIGU。问题在于这个系统只能提供 9 个可能的位置，而作为一名天文学家，他需要多得多的数位。他那精巧繁复的解决方案是将系统扩展一倍至 18 个数位，方法是将相同的九个元音各使用两次：a、a、i、i、u、u 等等；并将辅音分为两组，第一组用于奇数位，第二组用于偶数位。因此他实际上会这样写 386：CASAGI（c 是第一组的第六个辅音，s 实际上是第二组的第八个辅音，g 是第一组的第三个辅音）……
这个系统中显然没有零——但有趣的是，在解释时阿耶波多说道：“九个元音用于两组九个位置”——而他表示“位置”的词是“kha”。这个 kha 后来成为印度表示零的最常用词之一。这仿佛让我们看到了一个概念演变的慢镜头：从“有名称的”记数法转向纯粹的位置记数法，从一个可供数字寄宿的空位转变为“空的数字”：一个本身自成一体的数字，将其他数字推向各自的位置。
卡普兰反思了围绕零的概念形成的多元文化思想遗产：
拥有零的符号固然重要，但拥有这一概念更为关键；无论它是直接来自巴比伦人还是通过希腊人传入，在印度悬而未决的是这一概念将采取何种特征：它是表示没有任何数字的想法——还是表示用一个数字来指代这种缺失？它是一个表示空无的标记，还是一个空无的标记？前者使它与数字隔绝，仅仅成为数字活动背景的一部分；后者则使它与数字平起平坐。
在优美而引人入胜的 《无中生有》 的其余部分中，卡普兰继续探讨了从玛雅人到罗马人等其他各种文化如何为零在走向现代数学的过程中贡献了跨文明的拼图，并考察了它对从哲学、文学到他自身的数学领域等各个方面的深远影响。不妨搭配阅读这封维多利亚时代写给数学的情书以及关于波斯博学者伊本·西那如何革新现代科学的图文故事。